Задача 55. Вычислите скалярное произведение векторов \(\vec a\) и \(\vec b\), если \(\vec a = 5\vec p + 3\vec q\) и \(\vec b = 2\vec p-4\vec q\), где \(\vec p\) и \(\vec q\) – единичные вектора угол между которыми равен \({60^ \circ }.\)

Ответ

ОТВЕТ:  \(-9\).

Решение

Так как \(\vec p\) и \(\vec q\) – единичные вектора, то \(\left| {\vec p} \right| = \left| {\vec q} \right| = 1\). Найдём скалярное произведение векторов \(\vec a\) и \(\vec b\):

\(\vec a \cdot \vec b = \left( {5\vec p + 3\vec q} \right) \cdot \left( {2\vec p-4\vec q} \right) = 10 \cdot \vec p \cdot \vec p-20 \cdot \vec p \cdot \vec q + 6 \cdot \vec p \cdot \vec q-12 \cdot \vec q \cdot \vec q = \)

\( = 10 \cdot \left| {\vec p} \right| \cdot \left| {\vec p} \right|\cos {0^ \circ }-14 \cdot \left| {\vec p} \right| \cdot \left| {\vec q} \right|\cos {60^ \circ }-12 \cdot \left| {\vec q} \right| \cdot \left| {\vec q} \right|\cos {0^ \circ } = 10-14 \cdot \frac{1}{2}-12 = -9.\)

Ответ:  \(-9\).