ЕГЭ профильный уровень. №2 Скалярное произведение векторов. Задача 56math100admin44242025-04-02T09:20:27+03:00
Задача 56. Вычислите скалярное произведение векторов \(\vec a\) и \(\vec b\), если \(\vec a = 3\vec p-2\vec q\) и \(\vec b = \vec p + 6\vec q\), где \(\vec p\) и \(\vec q\) – единичные вектора угол между которыми равен \({120^ \circ }.\)
Решение
Так как \(\vec p\) и \(\vec q\) – единичные вектора, то \(\left| {\vec p} \right| = \left| {\vec q} \right| = 1\). Найдём скалярное произведение векторов \(\vec a\) и \(\vec b\):
\(\vec a \cdot \vec b = \left( {3\vec p-2\vec q} \right) \cdot \left( {\vec p + 6\vec q} \right) = 3 \cdot \vec p \cdot \vec p + 18 \cdot \vec p \cdot \vec q-2 \cdot \vec p \cdot \vec q-12 \cdot \vec q \cdot \vec q = \)
\( = 3 \cdot \left| {\vec p} \right| \cdot \left| {\vec p} \right|\cos {0^ \circ } + 16 \cdot \left| {\vec p} \right| \cdot \left| {\vec q} \right|\cos {120^ \circ }-12 \cdot \left| {\vec q} \right| \cdot \left| {\vec q} \right|\cos {0^ \circ } = 3 + 16 \cdot \left( {-\dfrac{1}{2}} \right)-12 = -17.\)
Ответ: \(-17\).