ЕГЭ профильный уровень. №2 Скалярное произведение векторов. Задача 57math100admin44242023-11-19T14:16:17+03:00
Задача 57. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C катет \(AC = \sqrt 3 .\) Найдите скалярное произведение \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} .\)
Решение
По определению скалярного произведения:
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \angle A.\)
По определению косинуса: \(\cos \angle A = \frac{{AC}}{{AB}}.\)
Тогда:
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \frac{{\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = {\left| {\overrightarrow {AC} } \right|^2} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 3.\)
Ответ: 3.