Задача 57. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C катет \(AC = \sqrt 3 .\) Найдите скалярное произведение \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC} .\)

Ответ

ОТВЕТ:  3.

Решение

По определению скалярного произведения:

\(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \angle A.\)

По определению косинуса:  \(\cos \angle A = \dfrac{{AC}}{{AB}}.\)

Тогда:

\(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \dfrac{{\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = {\left| {\overrightarrow {AC} } \right|^2} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 3.\)

Ответ:  3.