Задача 58. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C катет \(BC = \sqrt 7 .\) Найдите скалярное произведение \(\overrightarrow {BA}  \cdot \overrightarrow {BC} .\)

Ответ

ОТВЕТ:  7.

Решение

По определению скалярного произведения:

\(\overrightarrow {BA}  \cdot \overrightarrow {BC}  = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos \angle B.\)

По определению косинуса:  \(\cos \angle B = \dfrac{{BC}}{{AB}}.\)

Тогда:

\(\overrightarrow {BA}  \cdot \overrightarrow {BC}  = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \dfrac{{\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|}} = {\left| {\overrightarrow {BC} } \right|^2} = {\left( {\sqrt 7 } \right)^2} = 7.\)

Ответ:  7.