Задача 59. На клетчатой бумаге с размером \(1\, \times \,1\) изображен треугольник ABC. Найдите скалярное произведение \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} .\)
По определению скалярного произведения: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \angle BAC.\) По определению косинуса: \(\cos \angle BAC = \frac{{AC}}{{AB}}.\) Тогда: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \frac{{\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = {\left| {\overrightarrow {AC} } \right|^2}.\) Длину отрезка АС найдём по теореме Пифагора из треугольника АMС: \(AM = 1,\,\,\,MC = 2\). \(A{C^2} = A{M^2} + M{C^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,AC = \sqrt {{1^2} + {2^2}} = \sqrt 5 .\) Следовательно: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = {\left| {\overrightarrow {AC} } \right|^2} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} = 5.\) Ответ: 5.
Построим прямоугольные треугольники BKC и AMC, которые являются подобными. Следовательно, \(\angle BCK + \angle ACM = {90^ \circ }.\) Тогда: \(\angle ACB = {90^ \circ }.\)