Задача 6. В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известно, что \(AB = 6\sqrt 2 .\) Найдите скалярное произведение векторов \(\overrightarrow {BC} \) и \(\overrightarrow {BA} .\)
\(\sin {45^ \circ } = \frac{{BC}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{BC}}{{6\sqrt 2 }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,BC = 6.\) По определению скалярного произведения: \(\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BA} = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \cos {45^ \circ } = 6 \cdot 6\sqrt 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 36.\) Ответ: 36.
Так как треугольник равнобедренный, то \(\angle A = \angle B = {45^ \circ }\). По определению синуса: