Задача 7. В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известно, что \(AB = 5\sqrt 2 .\) Найдите скалярное произведение векторов \(\overrightarrow {AB} \) и \(\overrightarrow {CA} .\)

Ответ

ОТВЕТ:  \(-25\).

Решение

Так как треугольник равнобедренный, то \(\angle A = \angle B = {45^ \circ }\). Тогда угол между векторами \(\overrightarrow {AB} \) и \(\overrightarrow {CA} \) равен:  \({180^ \circ }-{45^ \circ } = {135^ \circ }\).

По определению синуса:

\(\sin {45^ \circ } = \frac{{BC}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{BC}}{{5\sqrt 2 }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,BC = 5 = AC.\)

По определению скалярного произведения:

\(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {CA}  = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CA} } \right| \cdot \cos {135^ \circ } = 5\sqrt 2  \cdot 5 \cdot \left( {-\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = -25.\)

Ответ:  \(-25\).