Задача 8. В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известно, что \(AB = 7\sqrt 2 .\) Найдите скалярное произведение векторов \(\overrightarrow {BA} \) и \(\overrightarrow {CB} .\)
По определению синуса: \(\sin {45^ \circ } = \frac{{BC}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{BC}}{{7\sqrt 2 }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,BC = 7.\) По определению скалярного произведения: \(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {CB} = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CB} } \right| \cdot \cos {135^ \circ } = 7\sqrt 2 \cdot 7 \cdot \left( {-\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = -49.\) Ответ: \(-49\).
Так как треугольник равнобедренный, то \(\angle A = \angle B = {45^ \circ }\). Тогда угол между векторами \(\overrightarrow {BA} \) и \(\overrightarrow {CB} \) равен: \({180^ \circ }-{45^ \circ } = {135^ \circ }\).