ЕГЭ профильный уровень. №3 Куб, прямоугольный параллелепипед. Задача 14

Задача 14. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.

Ответ

ОТВЕТ: 3.

Решение

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами a, b и c равна: \(S = 2\left( {ab + ac + bc} \right).\) Пусть \(a = 1,\,\,\,b = 2,\) c – неизвестное ребро. Тогда:

\(2\left( {1 \cdot 2 + 1 \cdot c + 2 \cdot c} \right) = 16\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,3c + 2 = 8\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,c = 2.\)

Длина диагонали прямоугольного параллелепипеда равна квадратному корню из суммы квадратов его измерений:

\(d = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} = 3.\)

Ответ: 3.