ЕГЭ профильный уровень. №3 Куб, прямоугольный параллелепипед. Задача 23

Задача 23. Одна из граней прямоугольного параллелепипеда – квадрат. Диагональ параллелепипеда равна \(\sqrt 8 \) и образует с плоскостью этой грани угол 45^o. Найдите объем параллелепипеда.

Ответ

ОТВЕТ: 4.

Решение

Пусть грань ABCD является квадратом. Диагональ B₁D образует с этой гранью угол \({45^ \circ },\) то есть \(\angle BD{B_1} = {45^ \circ }.\) Тогда прямоугольный треугольник BDB₁ равнобедренный и \(B{B_1} = BD = \dfrac{{{B_1}D}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 8 }}{{\sqrt 2 }} = 2.\) Стороны квадрата ABCD \(BA = BC = \dfrac{{BD}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{2}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 .\) Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений:

\(V = BA \cdot BC \cdot B{B_1} = \sqrt 2 \cdot \sqrt 2 \cdot 2 = 4.\)

Ответ: 4.