Задача 24. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна \(\sqrt 8 \) и образует углы 30o, 30o и 45o с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.
\(\sin {45^ \circ } = \frac{{B{B_1}}}{{{B_1}D}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{B{B_1}}}{{\sqrt 8 }}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,B{B_1} = 2.\) Из треугольника B1DA1: \(\sin {30^ \circ } = \frac{{{A_1}{B_1}}}{{{B_1}D}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{1}{2} = \frac{{{A_1}{B_1}}}{{\sqrt 8 }}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{A_1}{B_1} = \sqrt 2 .\) Из треугольника B1DC1: \(\sin {30^ \circ } = \frac{{{B_1}{C_1}}}{{{B_1}D}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{1}{2} = \frac{{{B_1}{C_1}}}{{\sqrt 8 }}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{B_1}{C_1} = \sqrt 2 .\) Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений: \(V = {B_1}{A_1} \cdot {B_1}{C_1} \cdot {B_1}B = \sqrt 2 \cdot \sqrt 2 \cdot 2 = 4.\) Ответ: 4.
Пусть \(\angle {B_1}DB = {45^ \circ },\,\,\,\,\angle {B_1}D{A_1} = {30^ \circ },\,\,\,\,\angle {B_1}D{C_1} = {30^ \circ }.\) Тогда из прямоугольного треугольника B1DB: