ЕГЭ профильный уровень. №3 Куб, прямоугольный параллелепипед. Задача 27

ОТВЕТ: 1,5.

Пусть объём исходного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равен  \(V = S \cdot h,\)  где S – площадь основания ABCD, а h – высота параллелепипеда. Искомый объём равен разности объёмом параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ и четырёх пирамид ABCB₁,  D₁C₁B₁C,  A₁D₁B₁A  и  ADCD₁. Объём каждой из этих пирамид равен одной трети произведения площади основания на высоту, а площадь основания вдвое меньше площади основания параллелепипеда. Следовательно:  \({V_{ABC{B_1}}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{S}{2} \cdot h = \frac{1}{6} \cdot 4,5 = \frac{3}{4}.\) Тогда:

\({V_{A{D_1}C{B_1}}} = {V_{ABCD{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}} — 4 \cdot {V_{ABC{B_1}}} = 4,5 — 4 \cdot \frac{3}{4} = 1,5.\)

Ответ: 1,5.