ЕГЭ профильный уровень. №3 Куб, прямоугольный параллелепипед. Задача 38

Задача 38. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро \(AB = 2\), ребро \(AD = \sqrt 5 \), ребро \(A{A_1} = 2\). Точка K — середина ребра BB₁. Найдите площадь сечения, проходящего через точки A₁, D₁ и K.

Ответ

ОТВЕТ: 5.

Решение

Так как сечение пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам, то искомое сечение четырёхугольник A₁D₁PK, где \({A_1}K\parallel {D_1}P\) и \({A_1}{D_1}\parallel KP.\) Кроме того, ребро A₁D₁ перпендикулярно граням AA₁B₁B и DD₁C₁C, поэтому \(\angle {D_1}{A_1}K = \angle {A_1}{D_1}P = {90^ \circ }.\) Следовательно, сечение A₁D₁PK – прямоугольник.

\({B_1}K = \dfrac{{B{B_1}}}{2} = \dfrac{2}{2} = 1;\,\,\,\,\,\,\,{A_1}{B_1} = AB = 2;\,\,\,\,\,\,{A_1}{D_1} = AD = \sqrt 5 .\)

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника A₁B₁K:

\({A_1}{K^2} = {A_1}{B_1}^2 + {B_1}{K^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{A_1}K = \sqrt {{2^2} + {1^2}} = \sqrt 5 .\)

Тогда: \({S_{{A_1}{D_1}PK}} = {A_1}{D_1} \cdot {A_1}K = \sqrt 5 \cdot \sqrt 5 = 5.\)

Ответ: 5.