ЕГЭ профильный уровень. №3 Куб, прямоугольный параллелепипед. Задача 41

Задача 41. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны ребра \(AB = 3,\;\;AD = 5,\;\;A{A_1} = 12\). Найдите площадь сечения параллелепипеда, проходящего через точки A, B и С₁.

Ответ

ОТВЕТ: 39.

Решение

Так как сечение пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам, то искомое сечение четырёхугольник ABC₁D₁, где \(A{D_1}\parallel B{C_1}\) и \(AB\parallel {C_1}{D_1}.\) Кроме того, ребро AB перпендикулярно граням AA₁D₁D и BB₁C₁C, поэтому \(\angle BA{D_1} = \angle AB{C_1} = {90^ \circ }.\) Следовательно, сечение ABC₁D₁ – прямоугольник.

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника BCC₁:

\(B{C_1}^2 = B{C^2} + {C_1}{C^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,B{C_1} = \sqrt {{5^2} + {{12}^2}} = 13.\)

Тогда: \({S_{AB{C_1}{D_1}}} = AB \cdot B{C_1} = 3 \cdot 13 = 39.\)

Ответ: 39.