Задача 41. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны ребра \(AB = 3,\;\;AD = 5,\;\;A{A_1} = 12\). Найдите площадь сечения параллелепипеда, проходящего через точки A, B и С1.
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника BCC1: \(B{C_1}^2 = B{C^2} + {C_1}{C^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,B{C_1} = \sqrt {{5^2} + {{12}^2}} = 13.\) Тогда: \({S_{AB{C_1}{D_1}}} = AB \cdot B{C_1} = 3 \cdot 13 = 39.\) Ответ: 39.
Так как сечение пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам, то искомое сечение четырёхугольник ABC1D1, где \(A{D_1}\parallel B{C_1}\) и \(AB\parallel {C_1}{D_1}.\) Кроме того, ребро AB перпендикулярно граням AA1D1D и BB1C1C, поэтому \(\angle BA{D_1} = \angle AB{C_1} = {90^ \circ }.\) Следовательно, сечение ABC1D1 – прямоугольник.