Задача 11. Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые ребра равны \(2\sqrt 3 \)  и наклонены к плоскости основания под углом 30o.

Ответ

ОТВЕТ: 18.

Решение

 

Объём призмы равен \(V = S \cdot h,\) где S – площадь основания, а h – высота. Пусть A1H – высота призмы. Тогда \(\angle {A_1}AH = {30^ \circ }.\) По условию \(A{A_1} = 2\sqrt 3 .\) По определению синуса из треугольника AA1H:

\(\sin \angle {A_1}AH = \frac{{{A_1}H}}{{A{A_1}}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\sin {30^ \circ } = \frac{{{A_1}H}}{{2\sqrt 3 }}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{A_1}H = \sqrt 3 .\)

Диагонали шестиугольника AD, BE и CF разбивают его на 6 равных равносторонних треугольников со стороной равной 2.

\({S_{AOB}} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot AB \cdot \sin {60^ \circ } = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 .\)

Тогда площадь основания: \(S = 6 \cdot {S_{AOB}} = 6\sqrt 3 .\) Значит:  \(V = 6\sqrt 3  \cdot \sqrt 3  = 18.\)

Ответ: 18.