ЕГЭ профильный уровень. №3 Призма. Задача 16

Задача 16. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Площадь ее поверхности равна 288. Найдите высоту призмы.

Ответ

ОТВЕТ: 10.

Решение

Пусть AB = 8, BC = 6. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABC:

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,AC = \sqrt {{8^2} + {6^2}} = 10.\)

\({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24.\)

Пусть боковое ребро AA₁ = x.

Тогда площадь поверхности призмы равна:

\(S = 2 \cdot {S_{ABC}} + {S_{AB{B_1}{A_1}}} + {S_{AC{C_1}{A_1}}} + {S_{BC{C_1}{B_1}}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,288 = 2 \cdot 24 + 8x + 10x + 6x\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x = 10.\)

Ответ: 10.