Задача 37. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 ребро AA1 равно 15, а диагональ BD1 равна 17. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки A, A1 и C.
\({A_1}{C^2} = A{C^2} + A{A_1}^2\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,AC = \sqrt {{{17}^2} — {{15}^2}} = 8.\) Тогда: \({S_{AC{C_1}{A_1}}} = AC \cdot A{A_1} = 8 \cdot 15 = 120.\) Ответ: 120.
Так как сечение пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам, то искомое сечение четырёхугольник ACC1A1, где \(AC\parallel {A_1}{C_1}\) и \(A{A_1}\parallel C{C_1}.\) Кроме того ребро AA1 перпендикулярно граням ABCD и A1B1C1D1, поэтому \(\angle CA{A_1} = \angle A{A_1}{C_1} = {90^ \circ }.\) Следовательно, сечение ACC1A1 – прямоугольник. Так как призма является правильной, то A1C = BD1 = 17. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника AA1C: