Боковая грань ASD перпендикулярна плоскости основания ABC. Высота SH = 6. Боковые грани SBC, SAB и SDC наклонены к плоскости основания под углом \({60^ \circ }\). Значит \(\angle SGH = \angle SAH = \angle SDH = {60^ \circ }.\) По определению тангенса:
\({\rm{tg}}\angle SGH = \frac{{SH}}{{HG}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{\rm{tg}}\,{\rm{6}}{{\rm{0}}^ \circ } = \frac{6}{{HG}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,HG = 2\sqrt 3 .\)
Значит \(AB = 2\sqrt 3 .\)
\({\rm{tg}}\angle SAH = \frac{{SH}}{{AH}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{\rm{tg}}\,{\rm{6}}{{\rm{0}}^ \circ } = \frac{6}{{AH}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,AH = 2\sqrt 3 .\)
Аналогично \(DH = 2\sqrt 3 .\) Значит \(AD = 4\sqrt 3 .\) Тогда: \({S_{ABCD}} = AB \cdot AD = 2\sqrt 3 \cdot 4\sqrt 3 = 24.\) Найдём объём пирамиды:
\(V = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABCD}} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 6 = 48.\)
Ответ: 48.
Задача 10. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60o. Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды.