Задача 15. Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.
\(\frac{{MK}}{{DH}} = \frac{{MC}}{{DC}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{{MK}}{{DH}} = \frac{{2x}}{{3x}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,MK = \frac{2}{3}DH.\) \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABC}} \cdot DH = 15.\) \({V_{ABCM}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABC}} \cdot MK = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABC}} \cdot \frac{2}{3}DH = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10.\) Тогда: \({V_{ABMD}} = {V_{ABCD}} — {V_{ABCM}} = 15 — 10 = 5.\) Следовательно, больший из объёмов пирамид, на которые плоскость ABM разбивает исходную пирамиду ABCD равен 10. Ответ: 10.
Пусть DM = x, MC = 2x, DH – высота пирамиды ABCD, MK – высота пирамиды ABCM. Треугольники DHC и MKC подобны. Следовательно: