ЕГЭ профильный уровень. №3 Пирамида. Задача 17

Задача 17. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4.

Ответ

ОТВЕТ: 96.

Решение

Пусть PK – высота боковой грани BPC. Тогда K – середина BC и HK является средней линией в треугольнике ABC, поэтому \(HK = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{6}{2} = 3.\)

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника PHK:

\(P{K^2} = P{H^2} + K{H^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,PK = \sqrt {{4^2} + {3^2}} = 5.\)

\({S_{BPC}} = \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot PK = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 15;\,\,\,\,\,\,\,{S_{ABCD}} = {6^2} = 36.\)

Тогда площадь поверхности пирамиды:

\(S = {S_{ABCD}} + 4 \cdot {S_{BPC}} = 36 + 4 \cdot 15 = 96.\)

Ответ: 96.