Задача 24. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2, боковое ребро равно 4. Найдите объем пирамиды.
\(F{S^2} = F{O^2} + S{O^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,FO = \sqrt {{4^2} — {2^2}} = 2\sqrt 3 .\) \({S_{AFO}} = \frac{1}{2} \cdot FO \cdot FA \cdot \sin {60^ \circ } = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 ;\,\,\,\,\,\,\,\,{S_{ABCDEF}} = 6 \cdot {S_{AFO}} = 6\sqrt 3 .\) Найдём объём пирамиды: \(V = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABCDEF}} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt 3 \cdot 2\sqrt 3 = 12.\) Ответ: 12.
Пусть SO – высота пирамиды. Диагонали шестиугольника AD, BE и CF разбивают его на 6 равных равносторонних треугольников. Тогда FO = 2. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника FSO: