Задача 25. Объем правильной шестиугольной пирамиды 6. Сторона основания равна 1. Найдите боковое ребро.

Ответ

ОТВЕТ: 7.

Решение

Пусть SO – высота пирамиды. Диагонали шестиугольника AD, BE и CF разбивают его на 6 равных равносторонних треугольников. Тогда FO = 1.

\({S_{AFO}} = \frac{1}{2} \cdot FO \cdot FA \cdot \sin {60^ \circ } = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{4};\)

\({S_{ABCDEF}} = 6 \cdot {S_{AFO}} = 6 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}.\)

Объём пирамиды находится по формуле:

\(V = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABCDEF}} \cdot SO\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,6 = \frac{1}{3} \cdot \frac{{3\sqrt 3 }}{2} \cdot SO\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,SO = 4\sqrt 3 .\)

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника FSO:

\(F{S^2} = F{O^2} + S{O^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,FS = \sqrt {{1^2} + {{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2}}  = 7.\)

Ответ: 7.