Задача 26. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и основанием равен 45o. Найдите объем пирамиды.
\({S_{COD}} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot OH = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt 3 = 4\sqrt 3 ;\,\,\,\,\,\,\,\,{S_{ABCDEF}} = 6 \cdot {S_{COD}} = 6 \cdot 4\sqrt 3 = 24\sqrt 3 .\) Найдём объём пирамиды: \(V = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABCDEF}} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot 24\sqrt 3 \cdot 2\sqrt 3 = 48.\) Ответ: 48.
Пусть SO – высота пирамиды, SH – высота боковой грани CSD, \(\angle SHO = {45^ \circ }\) – угол между боковой гранью и основанием. Тогда прямоугольный треугольник SHO является равнобедренным и SO = OH. Диагонали шестиугольника AD, BE и CF разбивают его на 6 равных равносторонних треугольников. Следовательно, треугольник COD равносторонний и \(OH = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot CD = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot 4 = 2\sqrt 3 .\) Значит \(SO = 2\sqrt 3 .\)