Задача 41. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD боковое ребро SA равно 5, сторона основания равна \(3\sqrt 2 \). Найдите объем пирамиды.
\(AC = \sqrt 2 \cdot AB = \sqrt 2 \cdot 3\sqrt 2 = 6.\) Тогда: \(AH = \frac{{AC}}{2} = \frac{6}{2} = 3\) и по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ASH: \(A{S^2} = A{H^2} + S{H^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,SH = \sqrt {{5^2} — {3^2}} = 4.\) Площадь основания: \({S_{ABCD}} = A{B^2} = {\left( {3\sqrt 2 } \right)^2} = 18.\) Тогда объём пирамиды: \(V = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABCD}} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot 18 \cdot 4 = 24.\) Ответ: 24.Решение
Пусть SH – высота пирамиды. Так как пирамида правильная, то её основанием является квадрат, диагональ которого: