Задача 43. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 5, а сторона основания равна \(3\sqrt 3 \). Найдите высоту пирамиды.
\(\frac{{BC}}{{\sin {{60}^ \circ }}} = 2 \cdot AP\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{{2 \cdot 3\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = 2 \cdot AP\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,AP = 3.\) По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника SAP: \(A{S^2} = A{P^2} + S{P^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,SP = \sqrt {{5^2} — {3^2}} = 4.\) Ответ: 4.Решение
Пусть P – точка пересечения медиан равностороннего треугольника ABC. Тогда SP является высотой пирамиды, а AP – радиусом окружности описанной около треугольника ABC. Найдём AP по теореме синусов для треугольника ABC: