ЕГЭ профильный уровень. №3 Цилиндр, конус, шар. Задача 22

Задача 22. Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на \(\pi \).

Ответ

ОТВЕТ: 9.

Решение

Объём конуса равен \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h,\) где R – радиус основания, а h – высота конуса. Так как диаметр основания равен 6, радиус равен 3. Осевым сечением является треугольник ASB с \(\angle ASB = {90^ \circ }.\) Значит \(\angle ASO = \angle SAO = {45^ \circ }\) и треугольник ASO является равнобедренным AO = SO = 3. Тогда объём конуса равен:

\(V = \dfrac{1}{3}\pi \cdot {3^2} \cdot 3 = 9\pi ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{V}{\pi } = \dfrac{{9\pi }}{\pi } = 9.\)

Ответ: 9.