ЕГЭ профильный уровень. №3 Цилиндр, конус, шар. Задача 24math100admin44242025-04-02T16:44:26+03:00
Задача 24. Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6. Найдите его объем, деленный на \(\pi \)
Решение
Объём конуса равен \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h,\) где R – радиус основания, а h – высота конуса. Квадрат со стороной AB = 4, лежащий в основании пирамиды, вписан в окружность, являющуюся основанием конуса. Поэтому радиус основания конуса R равен половине диагонали квадрата ABCD: \(R = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{\sqrt 2 AB}}{2} = \dfrac{{4\sqrt 2 }}{2} = 2\sqrt 2 .\) Тогда объём конуса равен:
\(V = \dfrac{1}{3}\pi \cdot {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} \cdot 6 = 16\pi ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{V}{\pi } = \dfrac{{16\pi }}{\pi } = 16.\)
Ответ: 16.