Задача 14. Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6. Найдите его объем, деленный на \(\pi \).
\(AC = \sqrt 2 AB = 4\sqrt 2 ;\,\,\,\,\,\,R = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{4\sqrt 2 }}{2} = 2\sqrt 2 .\) Тогда объём конуса равен: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h = \dfrac{1}{3}\pi \cdot \left( {2{{\sqrt 2 }^2}} \right) \cdot 6 = 16\pi ;\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{V}{\pi } = \dfrac{{16\pi }}{\pi } = 16.\) Ответ: 16.
Объём конуса равен: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h,\) где R – радиус основания, а h – его высота. Высота конуса равна высоте пирамиды: \(h = 6.\) Квадрат, лежащий в основании пирамиды, вписан в окружность, являющуюся основанием конуса. Поэтому радиус основания конуса R равен половине диагонали квадрата ABCD: