Задача 15. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?
\(\frac{{{V_{опис}}}}{{{V_{впис}}}} = \frac{{\frac{1}{3}\pi {R^2}h}}{{\frac{1}{3}\pi {r^2}h}} = {\left( {\frac{R}{r}} \right)^2} = {\left( {\frac{{2\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = 2.\) Ответ: 2.
Объём конуса равен: \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h,\) где R – радиус основания, а h – его высота. Высоты конусов равны. Значит, их объёмы будут зависеть от радиусов основания. Радиус основания вписанного конуса равен половине стороны квадрата ABCD: \(r = \frac{{AB}}{2} = \frac{4}{2} = 2.\) Радиус основания описанного конуса равен половине диагонали квадрата ABCD: \(R = \frac{{AC}}{2} = \frac{{\sqrt 2 AB}}{2} = \frac{{4\sqrt 2 }}{2} = 2\sqrt 2 .\) Следовательно, отношение объёмов конусов равно: