ЕГЭ профильный уровень. №3 Комбинация тел. Задача 18

Задача 18. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен \(2\sqrt 3 \), а высота равна 2.

Ответ

ОТВЕТ: 36.

Решение

Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей всех боковых граней. Так как дана правильная треугольная призма, то все три грани являются прямоугольниками, площади которых равны. Для нахождения площади боковой грани необходимо знать её высоту и длину ребра основания. Высота призмы равна высоте вписанного в него цилиндра, то есть 2. Найдём длину ребра основания. Рассмотрим проекцию (вид сверху). Пусть O – центр окружности описанной около равностороннего треугольника ABC, \(R = OB = 2\sqrt 3 .\)

Сторону треугольника найдём по теореме синусов:

\(\dfrac{{AB}}{{\sin {{60}^ \circ }}} = 2R\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,AB = 2 \cdot 2\sqrt 3 \cdot \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 6.\)

Тогда площадь боковой поверхности будет равна:

\(S = 3 \cdot 2 \cdot 6 = 36.\)

Ответ: 36.