Задача 22. Площадь поверхности тетраэдра равна 1,2. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины ребер данного тетраэдра.
Ответ: 0,6.
Площадь поверхности тетраэдра состоит из суммы площадей четырёх треугольников (один из них выделен синим цветом). Искомая поверхность состоит из четырёх пар равных треугольников (одна из пар выделена красным цветом). Треугольники выделенные красным цветом подобны синему треугольнику с коэффициентом подобия 2, поэтому их площадь меньше в \({2^2} = 4\) раза. Следовательно, сумма площадей двух красных треугольников равна половине площади синего треугольника. Аналогичная ситуация с тремя оставшимися парами треугольников многогранника. Поэтому площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины рёбер тетраэдра, равна половине площади поверхности самого тетраэдра, то есть \(1,2:2 = 0,6.\)