Задача 8. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен \(\sqrt 3 \), а высота равна 2.
\({\rm{tg}}\,{30^ \circ } = \frac{{OH}}{{AH}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{{AH}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,AH = 3.\) Тогда сторона треугольника \(AC = 2 \cdot AH = 2 \cdot 3 = 6\) и площадь боковой поверхности будет равна: \(S = 3 \cdot 6 \cdot 2 = 36.\) Ответ: 36.
Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей всех боковых граней. Так как дана правильная треугольная призма, то все три грани являются прямоугольниками, площади которых равны. Для нахождения площади боковой грани необходимо знать её высоту и длину ребра основания. Высота призмы равна высоте вписанного в него цилиндра, то есть 2. Найдём длину ребра основания. Рассмотрим проекцию (вид сверху). Пусть O – центр окружности вписанной в равносторонний треугольник ABC. Тогда \(OH = \sqrt 3 \) – радиус окружности и \(\angle OAH = {30^ \circ }.\) По определению тангенса из прямоугольного треугольника OAH: