Задача 9. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен \(\sqrt 3 \), а высота равна 2.
\({\rm{tg}}\,{60^ \circ } = \frac{{OH}}{{AH}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\sqrt 3 = \frac{{\sqrt 3 }}{{AH}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,AH = 1.\) Тогда сторона шестиугольника \(AB = 2 \cdot AH = 2 \cdot 1 = 2\) и площадь боковой поверхности будет равна: \(S = 6 \cdot 2 \cdot 2 = 24.\) Ответ: 24.
Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей всех боковых граней. Так как дана правильная шестиугольная призма, то все шесть граней являются прямоугольниками, площади которых равны. Для нахождения площади боковой грани необходимо знать её высоту и длину ребра основания. Высота призмы равна высоте вписанного в него цилиндра. Найдём длину ребра основания. Рассмотрим проекцию (вид сверху). Пусть O – центр окружности вписанной в правильный шестиугольник ABCDEF. Диагонали шестиугольника AD, BE и CF разбивают его на 6 равносторонних треугольников. Тогда \(OH = \sqrt 3 \) – радиус окружности и \(\angle OAH = {60^ \circ }.\) По определению тангенса из прямоугольного треугольника OAH: