Задача 1. Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?
ОТВЕТ: 1,2.
Для решения этой задачи воспользуемся формулой Бернулли. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна \(p\,\,\,\left( {0 < p < 1} \right)\), событие наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности), равна: \({p_n}\left( k \right) = c_n^k{p^k}{q^{n — k}}\), где \(q = 1 — p\) и \(c_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n — k} \right)!}}\) количество сочетаний из n различных элементов по k элементов и \(n! = 1 \cdot 2 \cdot … \cdot n\), при этом \(0! = 1.\) Вероятность выпадения орла при одном броске монеты равна \(\frac{1}{2}\), то есть \(p = \frac{1}{2}\) и \(q = 1 — p = 1 — \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\). Тогда вероятность того, что из 10 бросков монеты выпадет ровно 5 орлов: \({p_{10}}\left( 5 \right) = c_{10}^5 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^5} \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^5} = \frac{{10!}}{{5! \cdot 5!}} \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{10}}\). Вероятность того, что выпадет ровно 4 орла: \({p_{10}}\left( 4 \right) = c_{10}^4 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^4} \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^6} = \frac{{10!}}{{4! \cdot 6!}} \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{10}}\). Тогда: \(\frac{{{p_{10}}\left( 5 \right)}}{{{p_{10}}\left( 4 \right)}} = \frac{{\frac{{10!}}{{5! \cdot 5!}} \cdot {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{10}}}}{{\frac{{10!}}{{4! \cdot 6!}} \cdot {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{10}}}} = \frac{{10!}}{{5! \cdot 5!}} \cdot \frac{{4! \cdot 6!}}{{10!}} = \frac{{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}}{{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}} = \frac{6}{5} = 1,2.\) Ответ: 1,2.