Задача 10. При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 91% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 93% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 13% пациентов, направленных на тестирование.
При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?
Решение
Пусть х – число больных пациентов, у – число здоровых. Тогда всего пациентов х + у. Так как в среднем тест оказывается положительным у 13% пациентов, направленных на тестирование, то их количество равно 0,13 (х +у). Из них 91% приходится на больных (0,91х) и 100% – 93% = 7% на здоровых (0,07у). Тогда:
\(0,13\left( {x + y} \right) = 0,91x + 0,07y\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,0,06y = 0,78x\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,y = 13x.\)
Вероятность того, что пациент действительно имеет заболевание равна:
\(\frac{{0,91x}}{{0,13\left( {x + y} \right)}} = \frac{{0,91x}}{{0,13\left( {x + 13x} \right)}} = \frac{{0,91x}}{{0,13 \cdot 14x}} = 0,5\).
Ответ: 0,5.