Задача 11. Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,2 при каждом отдельном выстреле. Сколько патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее 0,6?
ОТВЕТ: 5.
ПЕРВЫЙ ВАРИАНТ РЕШЕНИЯ: Вероятность того, что стрелок попадёт первым выстрелом: \(0,2 < 0,6\). Вторым выстрелом: \(0,8 \cdot 0,2 = 0,16\) (промахнулся – попал). Сумма: \(0,2 + 0,16 = 0,36 < 0,6\). Третьим выстрелом: \(0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2 = 0,128\) (промахнулся – промахнулся – попал). Сумма: \(0,2 + 0,16 + 0,128 = 0,488 < 0,6\). Четвёртым выстрелом: \(0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2 = 0,1024\) (промахнулся – промахнулся – промахнулся – попал). Сумма: \(0,2 + 0,16 + 0,128 + 0,1024 = 0,5904 < 0,6\). Пятым выстрелом: \(0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2 = 0,08192\) (промахнулся – промахнулся – промахнулся – промахнулся – попал). Сумма: \(0,2 + 0,16 + 0,128 + 0,1024 + 0,08192 = 0,67232 > 0,6\). Следовательно, стрелку нужно дать 5 патронов, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее 0,6. Ответ: 5. ВТОРОЙ ВАРИАНТ РЕШЕНИЯ: Вычислим вероятность противоположного события, то есть определим, сколько патронов надо дать стрелку, чтобы вероятность того, что мишень будет не поражена, была меньше 0,4. Вероятность промахнуться при каждом выстреле: \(1 — 0,2 = 0,8\). Эти события независимы, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий. Промахнуться одним выстрелом: \(0,8 > 0,4\); двумя: \(0,8 \cdot 0,8 = 0,64 > 0,4\); тремя: \(0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,8 = 0,512 > 0,4\); четырьмя: \(0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,8 = 0,4096 > 0,4\); пятью: \(0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,8 = 0,32768 < 0,4\). Следовательно, стрелку нужно дать 5 патронов, чтобы вероятность того, что мишень будет не поражена, была меньше 0,4, а вероятность того, что поражена не меньше 0,6. Ответ: 5.