Задача 12. Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,7 при каждом отдельном выстреле. Сколько патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее 0,95?

Ответ

ОТВЕТ: 3.

Решение

ПЕРВЫЙ ВАРИАНТ РЕШЕНИЯ:

Вероятность того, что стрелок попадёт первым выстрелом:  \(0,7 < 0,95\).

Вторым выстрелом:  \(0,3 \cdot 0,7 = 0,21\) (промахнулся – попал). Сумма: \(0,7 + 0,21 = 0,91 < 0,95\).

Третьим выстрелом:  \(0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,7 = 0,063\) (промахнулся – промахнулся – попал). Сумма: \(0,7 + 0,21 + 0,063 = 0,973 > 0,95\).

Следовательно, стрелку нужно дать 3 патрона, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее 0,95.

Ответ:  3.

ВТОРОЙ ВАРИАНТ РЕШЕНИЯ:

Вычислим вероятность противоположного события, то есть определим, сколько патронов надо дать стрелку, чтобы вероятность того, что мишень будет не поражена, была меньше 0,05. Вероятность промахнуться при каждом выстреле:  \(1 — 0,7 = 0,3\). Эти события независимы, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий.

Промахнуться одним выстрелом:  \(0,3 > 0,05\);

двумя:  \(0,3 \cdot 0,3 = 0,09 > 0,05\);

тремя:  \(0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3 = 0,027 < 0,05\).

Следовательно, стрелку нужно дать 3 патрона, чтобы вероятность того, что мишень будет не поражена, была меньше 0,05, а вероятность того, что поражена не меньше 0,95.

Ответ:  3.