Для решения этой задачи воспользуемся формулой Бернулли. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна \(p\,\,\,\left( {0 < p < 1} \right)\), событие наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности), равна:
\({p_n}\left( k \right) = c_n^k{p^k}{q^{n — k}}\),
где \(q = 1 — p\) и \(c_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n — k} \right)!}}\) количество сочетаний из n различных элементов по k элементов и \(n! = 1 \cdot 2 \cdot … \cdot n\), при этом \(0! = 1.\)
Вероятность того, что стрелок попадёт в мишень с первого или второго выстрела: \(p = 0,5 + 0,5 \cdot 0,5 = 0,75\). Соответственно, вероятность противоположного события, состоящее в том, что стрелок не попадёт в мишень с двух выстрелов, равна: \(q = 1 — 0,75 = 0,25\).
Тогда вероятность того, что стрелок поразит ровно три мишени:
\({p_5}\left( 3 \right) = c_5^3 \cdot {0,75^3} \cdot {0,25^2} = \frac{{5!}}{{3! \cdot 2!}} \cdot {0,75^3} \cdot {0,25^2} = 10 \cdot {0,75^3} \cdot {0,25^2}\).
Вероятность того, что поразит ровно 2 мишени:
\({p_5}\left( 2 \right) = c_5^2 \cdot {0,75^2} \cdot {0,25^3} = \frac{{5!}}{{2! \cdot 3!}} \cdot {0,75^2} \cdot {0,25^3} = 10 \cdot {0,75^2} \cdot {0,25^3}\).
Тогда: \(\frac{{{p_5}\left( 3 \right)}}{{{p_5}\left( 2 \right)}} = \frac{{10 \cdot {{0,75}^3} \cdot {{0,25}^2}}}{{10 \cdot {{0,75}^2} \cdot {{0,25}^3}}} = \frac{{0,75}}{{0,25}} = 3\).
Ответ: 3.