Задача 18. Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе в несколько туров: если в туре участвует чётное число игроков, то они разбиваются на случайные игровые пары. Если число игроков нечётно, то с помощью жребия выбираются случайные игровые пары, а один игрок остаётся без пары и не участвует в туре. Проигравший в каждой паре (ничья невозможна) выбывает из турнира, а победители и игрок без пары, если он есть, выходят в следующий тур, который проводится по таким же правилам. Так продолжается до тех пор, пока не останутся двое, которые играют между собой финальный тур, то есть последнюю партию, которая выявляет победителя турнира.

Всего в турнире участвует 20 игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга – Иван и Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придётся сыграть друг с другом?

Ответ

ОТВЕТ: 0,1.

Решение

Решим задачу в общем виде. Пусть в турнире участвуют n игроков. Введём события:

«А – Иван прекратит турнир, проиграв Алексею»;

«В – Алексей прекратит турнир, проиграв Ивану».

Так как все игроки играют одинаково, то

\(p\left( A \right) = p\left( B \right)\)  и  \(p\left( {A + B} \right) = p\left( A \right) + p\left( B \right)\).  При этом сумма вероятностей \(p\left( A \right) + p\left( B \right)\)  есть вероятность того, что Иван и Алексей в каком-то туре сыграли друг с другом.

Найдём \(p\left( A \right)\). Введём события:

«Н1 – Иван выиграет турнир»;

«Н2 – Иван не выиграет турнир».

\(p\left( {{H_1}} \right) = \frac{1}{n}\) (так как у всех игроков одинаковые шансы выиграть турнир).

\(p\left( {{H_2}} \right) = \frac{{n — 1}}{n}\)

Найдём условные вероятности:

\(p\left( {A/{H_1}} \right) = 0\) (Иван не может прекратить турнир, проиграв Алексею, если он выиграл турнир).

\(p\left( {A/{H_2}} \right) = \frac{1}{{n — 1}}\) (если Иван не выиграл турнир, то любому из оставшихся участников он мог проиграть с одинаковой вероятностью).

Вероятность события А найдём по формуле полной вероятности:

\(p\left( A \right) = p\left( {{H_1}} \right) \cdot p\left( {A/{H_1}} \right) + p\left( {{H_2}} \right) \cdot p\left( {A/{H_2}} \right) = \frac{1}{n} \cdot 0 + \frac{{n — 1}}{n} \cdot \frac{1}{{n — 1}} = \frac{1}{n}.\)

Тогда:   \(p\left( {A + B} \right) = p\left( A \right) + p\left( B \right) = \frac{1}{n} + \frac{1}{n} = \frac{2}{n}.\)

Так как в данном случае в турнире участвуют 20 игроков, то:

\(p\left( {A + B} \right) = \frac{2}{{20}} = \frac{1}{{10}} = 0,1\).

Ответ:  0,1.