Задача 19. Первый член последовательности целых чисел равен 0. Каждый следующий член последовательности с вероятностью \(p = 0,8\) на единицу больше предыдущего и с вероятностью \(1 — p\) на единицу меньше предыдущего. Какова вероятность того, что какой-то член этой последовательности окажется равен \( — 1\)?
Решение
Пусть х вероятность того, что член последовательности окажется равен –1 изначально находясь в 0. Вероятность того, что второй член последовательности будет равен –1 равна 0,2, а 1 равен 0,8. Вероятность того, что член последовательности равный 1 окажется равен –1 равна \(x \cdot x\) (вероятность х, что 1 окажется 0 и вероятность х, что 0 окажется \( — 1\)). Таким образом, получаем уравнение:
\(x = 0,2 + 0,8{x^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,0,8{x^2} — x + 0,2 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = 0,25;\,\,\,\,\,\,{x_2} = 1\).
Так как исходная вероятность подняться вверх больше (то есть отдалиться от –1), чем спуститься вниз к –1, то выбираем в ответ меньшую вероятность 0,25 (если было бы наоборот, то ответ был бы 1).
Ответ: 0,25.