Задача 2. Симметричную монету бросают 17 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 8 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 7 орлов»?

Ответ

ОТВЕТ: 1,25.

Решение

Для решения этой задачи воспользуемся формулой Бернулли. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна \(p\,\,\,\left( {0 < p < 1} \right)\), событие наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности), равна:

\({p_n}\left( k \right) = c_n^k{p^k}{q^{n — k}}\),

где  \(q = 1 — p\)  и  \(c_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n — k} \right)!}}\)  количество сочетаний из n различных элементов по k элементов и   \(n! = 1 \cdot 2 \cdot … \cdot n\),  при этом  \(0! = 1.\)

Вероятность выпадения орла при одном броске монеты равна \(\frac{1}{2}\), то есть  \(p = \frac{1}{2}\)  и  \(q = 1 — p = 1 — \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\).

Тогда вероятность того, что из 17 бросков монеты выпадет ровно 8 орлов:

\({p_{17}}\left( 8 \right) = c_{17}^8 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^8} \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^9} = \frac{{17!}}{{8! \cdot 9!}} \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{17}}\).

Вероятность того, что выпадет ровно 7 орлов:

\({p_{17}}\left( 7 \right) = c_{17}^7 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^7} \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{10}} = \frac{{17!}}{{7! \cdot 10!}} \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{17}}\).

Тогда:

\(\frac{{{p_{17}}\left( 8 \right)}}{{{p_{17}}\left( 7 \right)}} = \frac{{\frac{{17!}}{{8! \cdot 9!}} \cdot {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{17}}}}{{\frac{{17!}}{{7! \cdot 10!}} \cdot {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{17}}}} = \frac{{17!}}{{8! \cdot 9!}} \cdot \frac{{7! \cdot 10!}}{{17!}} = \frac{{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}}{{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9}} = \frac{{10}}{8} = 1,25.\)

Ответ:  1,25.