ЕГЭ профильный уровень. №5 Теория вероятностей повышенной сложности. Задача 20

Задача 20. Первый член последовательности целых чисел равен 0. Каждый следующий член последовательности с вероятностью \(p = \dfrac{{20}}{{23}}\) на единицу больше предыдущего и с вероятностью \(1 — p\) на единицу меньше предыдущего. Какова вероятность того, что какой-то член этой последовательности окажется равен \( — 1\)?

Ответ

ОТВЕТ: 0,15.

Решение

Пусть х вероятность того, что член последовательности окажется равен –1 изначально находясь в 0. Вероятность того, что второй член последовательности будет равен –1 равна \(\dfrac{3}{{23}}\), а 1 равен \(\dfrac{{20}}{{23}}\). Вероятность того, что член последовательности равный 1 окажется равен –1 равна \(x \cdot x\)(вероятность х, что 1 окажется 0 и вероятность х, что 0 окажется \( — 1\)). Таким образом, получаем уравнение:

\(x = \dfrac{3}{{23}} + \dfrac{{20}}{{23}}{x^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,20{x^2} — 23x + 3 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = 0,15;\,\,\,\,\,\,{x_2} = 1\).

Так как исходная вероятность подняться вверх больше (то есть отдалиться от –1), чем спуститься вниз к –1, то выбираем в ответ меньшую вероятность 0,15 (если было бы наоборот, то ответ был бы 1).

Ответ: 0,15.