Задача 9. При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование.
При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?
Решение
Пусть х – число больных пациентов, у – число здоровых. Тогда всего пациентов х + у. Так как в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование, то их количество равно 0,1 (х +у). Из них 86% приходится на больных (0,86х) и 100% – 94% = 6% на здоровых (0,06у). Тогда:
\(0,1\left( {x + y} \right) = 0,86x + 0,06y\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,0,04y = 0,76x\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,y = 19x\)
Вероятность того, что пациент действительно имеет заболевание равна:
\(\frac{{0,86x}}{{0,1\left( {x + y} \right)}} = \frac{{0,86x}}{{0,1\left( {x + 19x} \right)}} = \frac{{0,86x}}{{2x}} = 0,43\).
Ответ: 0,43.