1 Вариант
Воспользуемся формулой: \(1 + t{g^2}\alpha = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\).
Тогда: \(1 + t{g^2}\alpha = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {10} }}} \right)}^2}}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,1 + t{g^2}\alpha = 10\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,t{g^2}\alpha = 9\)
Следовательно, \(tg\alpha = 3\) или \(tg\alpha = — 3\). Так как \(\alpha \,\, \in \,\,\left( {\dfrac{{3\pi }}{2};2\pi } \right)\), то есть лежит в четвертой четверти, то его тангенс отрицательный. Поэтому \(tg\alpha = — 3.\)
2 Вариант
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\)
\({\sin ^2}\alpha + {\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {10} }}} \right)^2} = 1\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\sin ^2}\alpha = 1 — \dfrac{1}{{10}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\sin ^2}\alpha = \dfrac{9}{{10}}\)
Следовательно, \(\sin \alpha = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }}\) или \(\sin \alpha = — \dfrac{3}{{\sqrt {10} }}\). Так как \(\alpha \,\, \in \,\,\left( {\dfrac{{3\pi }}{2};2\pi } \right)\), то есть лежит в четвертой четверти, то его синус отрицательный. Поэтому \(\sin \alpha = — \dfrac{3}{{\sqrt {10} }}\).
Воспользуемся тем, что: \(tg\alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \dfrac{{ — \dfrac{3}{{\sqrt {10} }}}}{{\dfrac{1}{{\sqrt {10} }}}} = — 3.\)
Ответ: — 3.