Задача 28. Найдите    \({\text{tg}}\alpha \),    если \(\cos \alpha  = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\)     и    \(a \in \left( {\frac{{3{\\\pi }}}{2};\;2{\\\pi }} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: — 3.

Решение

1 Вариант

Воспользуемся формулой: \(1 + t{g^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\).

Тогда: \(1 + t{g^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\left( {\frac{1}{{\sqrt {10} }}} \right)}^2}}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,1 + t{g^2}\alpha  = 10\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,t{g^2}\alpha  = 9\)

Следовательно, \(tg\alpha  = 3\) или \(tg\alpha  =  — 3\). Так как \(\alpha \,\, \in \,\,\left( {\frac{{3\pi }}{2};2\pi } \right)\), то есть лежит в четвертой четверти, то его тангенс отрицательный. Поэтому \(tg\alpha  =  — 3.\)

2 Вариант

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)

\({\sin ^2}\alpha  + {\left( {\frac{1}{{\sqrt {10} }}} \right)^2} = 1\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\sin ^2}\alpha  = 1 — \frac{1}{{10}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\sin ^2}\alpha  = \frac{9}{{10}}\)

Следовательно, \(\sin \alpha  = \frac{3}{{\sqrt {10} }}\) или \(\sin \alpha  =  — \frac{3}{{\sqrt {10} }}\). Так как \(\alpha \,\, \in \,\,\left( {\frac{{3\pi }}{2};2\pi } \right)\), то есть лежит в четвертой четверти, то его синус отрицательный. Поэтому \(\sin \alpha  =  — \frac{3}{{\sqrt {10} }}\).

Воспользуемся тем, что: \(tg\alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{ — \frac{3}{{\sqrt {10} }}}}{{\frac{1}{{\sqrt {10} }}}} =  — 3.\)

Ответ: — 3.