Задача 28. Найдите \({\text{tg}}\alpha \), если \(\cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\) и \(a \in \left( {\frac{{3{\\\pi }}}{2};\;2{\\\pi }} \right)\)
ОТВЕТ: — 3.
1 Вариант Воспользуемся формулой: \(1 + t{g^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\). Тогда: \(1 + t{g^2}\alpha = \frac{1}{{{{\left( {\frac{1}{{\sqrt {10} }}} \right)}^2}}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,1 + t{g^2}\alpha = 10\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,t{g^2}\alpha = 9\) Следовательно, \(tg\alpha = 3\) или \(tg\alpha = — 3\). Так как \(\alpha \,\, \in \,\,\left( {\frac{{3\pi }}{2};2\pi } \right)\), то есть лежит в четвертой четверти, то его тангенс отрицательный. Поэтому \(tg\alpha = — 3.\) 2 Вариант Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) \({\sin ^2}\alpha + {\left( {\frac{1}{{\sqrt {10} }}} \right)^2} = 1\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\sin ^2}\alpha = 1 — \frac{1}{{10}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\sin ^2}\alpha = \frac{9}{{10}}\) Следовательно, \(\sin \alpha = \frac{3}{{\sqrt {10} }}\) или \(\sin \alpha = — \frac{3}{{\sqrt {10} }}\). Так как \(\alpha \,\, \in \,\,\left( {\frac{{3\pi }}{2};2\pi } \right)\), то есть лежит в четвертой четверти, то его синус отрицательный. Поэтому \(\sin \alpha = — \frac{3}{{\sqrt {10} }}\). Воспользуемся тем, что: \(tg\alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{ — \frac{3}{{\sqrt {10} }}}}{{\frac{1}{{\sqrt {10} }}}} = — 3.\) Ответ: — 3.