Задача 29. Найдите    \({\text{tg}}\alpha \),    если \(\sin \alpha  =  — \frac{5}{{\sqrt {26} }}\)     и    \(\alpha  \in \left( {{\\\pi };\;\frac{{3{\\\pi }}}{2}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: 5.

Решение

1 Вариант

Воспользуемся формулой: \(1 + ct{g^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\)

Тогда: \(1 + ct{g^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\left( { — \frac{5}{{\sqrt {26} }}} \right)}^2}}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,1 + ct{g^2}\alpha  = \frac{{26}}{{25}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,ct{g^2}\alpha  = \frac{1}{{25}}\)

Следовательно, \(ctg\alpha  = \frac{1}{5}\) или \(ctg\alpha  =  — \frac{1}{5}\).

Так как \(\alpha \,\, \in \,\,\left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\), то есть лежит в третьей четверти, то его котангенс положительный. Поэтому \(ctg\alpha  = \frac{1}{5}.\)

Так как  \(tg\alpha  \cdot ctg\alpha  = 1\),  то \(tg\alpha  = \frac{1}{{ctg\alpha }} = \frac{1}{{\frac{1}{5}}} = 5.\)

2 Вариант

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1.\)

\({\left( { — \frac{5}{{\sqrt {26} }}} \right)^2} + {\cos ^2}\alpha  = 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\cos ^2}\alpha  = 1 — \frac{{25}}{{26}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\cos ^2}\alpha  = \frac{1}{{26}}.\)

Следовательно, \(\cos \alpha  = \frac{1}{{\sqrt {26} }}\) или \(\cos \alpha  =  — \frac{1}{{\sqrt {26} }}\).

Так как \(\alpha \,\, \in \,\,\left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\), то есть лежит в третьей четверти, то косинус отрицательный. Поэтому \(\cos \alpha  =  — \frac{1}{{\sqrt {26} }}\).

Воспользуемся тем, что: \(tg\alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{ — \frac{5}{{\sqrt {26} }}}}{{ — \frac{1}{{\sqrt {26} }}}} = 5.\)

Ответ: 5.