Задача 29. Найдите \({\text{tg}}\alpha \), если \(\sin \alpha = — \frac{5}{{\sqrt {26} }}\) и \(\alpha \in \left( {{\\\pi };\;\frac{{3{\\\pi }}}{2}} \right)\)
ОТВЕТ: 5.
1 Вариант Воспользуемся формулой: \(1 + ct{g^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\) Тогда: \(1 + ct{g^2}\alpha = \frac{1}{{{{\left( { — \frac{5}{{\sqrt {26} }}} \right)}^2}}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,1 + ct{g^2}\alpha = \frac{{26}}{{25}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,ct{g^2}\alpha = \frac{1}{{25}}\) Следовательно, \(ctg\alpha = \frac{1}{5}\) или \(ctg\alpha = — \frac{1}{5}\). Так как \(\alpha \,\, \in \,\,\left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\), то есть лежит в третьей четверти, то его котангенс положительный. Поэтому \(ctg\alpha = \frac{1}{5}.\) Так как \(tg\alpha \cdot ctg\alpha = 1\), то \(tg\alpha = \frac{1}{{ctg\alpha }} = \frac{1}{{\frac{1}{5}}} = 5.\) 2 Вариант Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1.\) \({\left( { — \frac{5}{{\sqrt {26} }}} \right)^2} + {\cos ^2}\alpha = 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\cos ^2}\alpha = 1 — \frac{{25}}{{26}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{26}}.\) Следовательно, \(\cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt {26} }}\) или \(\cos \alpha = — \frac{1}{{\sqrt {26} }}\). Так как \(\alpha \,\, \in \,\,\left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\), то есть лежит в третьей четверти, то косинус отрицательный. Поэтому \(\cos \alpha = — \frac{1}{{\sqrt {26} }}\). Воспользуемся тем, что: \(tg\alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{ — \frac{5}{{\sqrt {26} }}}}{{ — \frac{1}{{\sqrt {26} }}}} = 5.\) Ответ: 5.