1 Вариант
Воспользуемся формулой: \(1 + ct{g^2}\alpha = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\)
Тогда: \(1 + ct{g^2}\alpha = \dfrac{1}{{{{\left( { — \dfrac{5}{{\sqrt {26} }}} \right)}^2}}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,1 + ct{g^2}\alpha = \dfrac{{26}}{{25}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,ct{g^2}\alpha = \dfrac{1}{{25}}\)
Следовательно, \(ctg\alpha = \dfrac{1}{5}\) или \(ctg\alpha = — \dfrac{1}{5}\).
Так как \(\alpha \,\, \in \,\,\left( {\pi ;\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\), то есть лежит в третьей четверти, то его котангенс положительный. Поэтому \(ctg\alpha = \dfrac{1}{5}.\)
Так как \(tg\alpha \cdot ctg\alpha = 1\), то \(tg\alpha = \dfrac{1}{{ctg\alpha }} = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{5}}} = 5.\)
2 Вариант
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1.\)
\({\left( { — \dfrac{5}{{\sqrt {26} }}} \right)^2} + {\cos ^2}\alpha = 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\cos ^2}\alpha = 1 — \frac{{25}}{{26}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\cos ^2}\alpha = \dfrac{1}{{26}}.\)
Следовательно, \(\cos \alpha = \dfrac{1}{{\sqrt {26} }}\) или \(\cos \alpha = — \dfrac{1}{{\sqrt {26} }}\).
Так как \(\alpha \,\, \in \,\,\left( {\pi ;\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\), то есть лежит в третьей четверти, то косинус отрицательный. Поэтому \(\cos \alpha = — \dfrac{1}{{\sqrt {26} }}\).
Воспользуемся тем, что: \(tg\alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \dfrac{{ — \dfrac{5}{{\sqrt {26} }}}}{{ — \dfrac{1}{{\sqrt {26} }}}} = 5.\)
Ответ: 5.