Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1.\)
\({\left( { — \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right)^2} + {\cos ^2}\alpha = 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\cos ^2}\alpha = 1 — \frac{8}{9}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\cos ^2}\alpha = \frac{1}{9}\)
Следовательно, \(\cos \alpha = \frac{1}{3}\) или \(\cos \alpha = — \frac{1}{3}\).
Так как \(\alpha \,\, \in \,\,\left( {\frac{{3\pi }}{2};2\pi } \right)\), то есть лежит в четвертой четверти, то его косинус положительный. Поэтому \(\cos \alpha = \frac{1}{3}.\) Тогда: \(3\cos \alpha = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1.\)
Ответ: 1.