Задача 30. Найдите   \(3\cos \alpha \),   если   \(\sin \alpha  =  — \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)   и   \(\alpha  \in \left( {\frac{{3{\\\pi }}}{2};\;2{\\\pi }} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Решение

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1.\)

\({\left( { — \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right)^2} + {\cos ^2}\alpha  = 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\cos ^2}\alpha  = 1 — \frac{8}{9}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\cos ^2}\alpha  = \frac{1}{9}\)

Следовательно, \(\cos \alpha  = \frac{1}{3}\) или \(\cos \alpha  =  — \frac{1}{3}\).

Так как \(\alpha \,\, \in \,\,\left( {\frac{{3\pi }}{2};2\pi } \right)\), то есть лежит в четвертой четверти, то его косинус положительный. Поэтому \(\cos \alpha  = \frac{1}{3}.\)  Тогда: \(3\cos \alpha  = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1.\)

Ответ: 1.