Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1.\)
\({\sin ^2}\alpha + {\left( {\dfrac{{3\sqrt 5 }}{7}} \right)^2} = 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\sin ^2}\alpha = 1 — \dfrac{{45}}{{49}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\sin ^2}\alpha = \dfrac{4}{{49}}\)
Следовательно: \(\sin \alpha = \dfrac{2}{7}\) или \(\sin \alpha = — \dfrac{2}{7}\).
Так как \(\alpha \,\, \in \,\,\left( {1,5\pi ;2\pi } \right)\), то есть лежит в четвертой четверти, то его синус отрицательный. Поэтому \(\sin \alpha = — \dfrac{2}{7}.\)
Тогда: \(7\sin \alpha = 7 \cdot \left( { — \dfrac{2}{7}} \right) = — 2.\)
Ответ: — 2.