Задача 31. Найдите   \(7\sin \alpha \),   если   \(\cos \alpha  = \frac{{3\sqrt 5 }}{7}\)   и   \(\alpha  \in \left( {1,5{\\\pi };\;2{\\\pi }} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: — 2.

Решение

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1.\)

\({\sin ^2}\alpha  + {\left( {\frac{{3\sqrt 5 }}{7}} \right)^2} = 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\sin ^2}\alpha  = 1 — \frac{{45}}{{49}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\sin ^2}\alpha  = \frac{4}{{49}}\)

Следовательно: \(\sin \alpha  = \frac{2}{7}\) или \(\sin \alpha  =  — \frac{2}{7}\).

Так как \(\alpha \,\, \in \,\,\left( {1,5\pi ;2\pi } \right)\), то есть лежит в четвертой четверти, то его синус отрицательный. Поэтому \(\sin \alpha  =  — \frac{2}{7}.\)

Тогда: \(7\sin \alpha  = 7 \cdot \left( { — \frac{2}{7}} \right) =  — 2.\)

Ответ: — 2.