ЕГЭ профильный уровень. №7 Вычисление значений тригонометрических выражений. Задача 37

Задача 37. Найдите \(\sin \left( {\dfrac{{7{\\\pi }}}{2} — \alpha } \right)\), если \(\sin \alpha = 0,8\) и \(a \in \left( {\dfrac{{\\\pi }}{2};\;{\\\pi }} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: 0,6.

Решение

\(\sin \left( {\dfrac{{7\pi }}{2} — \alpha } \right) = — \cos \alpha \)

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\)

\({0,8^2} + {\cos ^2}\alpha = 1\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\cos ^2}\alpha = 1 — 0,64\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\cos ^2}\alpha = 0,36\)

Следовательно, \(\cos \alpha = 0,6\) или \(\cos \alpha = — 0,6\).

Так как \(\alpha \,\, \in \,\,\left( {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right)\), то есть лежит во второй четверти, то его косинус отрицательный.

Поэтому: \(\sin \left( {\dfrac{{7\pi }}{2} — \alpha } \right) = — \cos \alpha = — \left( { — 0,6} \right) = 0,6.\)

Ответ: 0,6.