Задача 38. Найдите   \(26\cos \left( {\frac{{3{\\\pi }}}{2} + \alpha } \right)\),   если   \(\cos \alpha  = \frac{{12}}{{13}}\)   и   \(\alpha  \in \left( {\frac{{3{\\\pi }}}{2};\;2{\\\pi}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ: — 10.

Решение

\(26\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} + \alpha } \right) = 26\sin \alpha \)

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)

\({\sin ^2}\alpha  + {\left( {\frac{{12}}{{13}}} \right)^2} = 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\sin ^2}\alpha  = 1 — \frac{{144}}{{169}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\sin ^2}\alpha  = \frac{{25}}{{169}}\)

Следовательно, \(\sin \alpha  = \frac{5}{{13}}\) или \(\sin \alpha  =  — \frac{5}{{13}}\).

Так как \(\alpha \,\, \in \,\,\left( {\frac{{3\pi }}{2};2\pi } \right)\), то есть лежит в четвертой четверти, то его синус отрицательный. Поэтому: \(26\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} + \alpha } \right) = 26\sin \alpha  = 26 \cdot \left( { — \frac{5}{{13}}} \right) =  — 10.\)

Ответ: — 10.