ЕГЭ профильный уровень. №7 Вычисление значений тригонометрических выражений. Задача 41math100admin44242023-09-05T21:21:56+03:00
Задача 41. Найдите \(\frac{{3\cos \alpha — 4\sin \alpha }}{{2\sin \alpha — 5\cos \alpha }}\), если \({\text{tg}}\alpha {\text{ = 3}}\)
Решение
1 Вариант
Разделим числитель и знаменатель дроби на \(\cos \alpha \). Тогда:
\(\frac{{3\cos \alpha — 4\sin \alpha }}{{2\sin \alpha — 5\cos \alpha }} = \frac{{\frac{{3\cos \alpha }}{{\cos \alpha }} — \frac{{4\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{\frac{{2\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} — \frac{{5\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}} = \frac{{3 — 4\,\,tg\alpha }}{{2\,\,tg\alpha — 5}} = \frac{{3 — 4 \cdot 3}}{{2 \cdot 3 — 5}} = \frac{{ — 9}}{1} = — 9.\)
2 Вариант
Так как \(tg\alpha = 3\), то \(\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = 3\) и \(\sin \alpha = 3\cos \alpha \). Тогда:
\(\frac{{3\cos \alpha — 4\sin \alpha }}{{2\sin \alpha — 5\cos \alpha }} = \frac{{3\cos \alpha — 4 \cdot 3\cos \alpha }}{{2 \cdot 3\cos \alpha — 5\cos \alpha }} = \frac{{3\cos \alpha — 12\cos \alpha }}{{6\cos \alpha — 5\cos \alpha }} = \frac{{ — 9\cos \alpha }}{{\cos \alpha }} = — 9.\)
Ответ: — 9.