Задача 41. Найдите   \(\frac{{3\cos \alpha  — 4\sin \alpha }}{{2\sin \alpha  — 5\cos \alpha }}\),   если   \({\text{tg}}\alpha {\text{ = 3}}\)

Ответ

ОТВЕТ: — 9.

Решение

1 Вариант

Разделим числитель и знаменатель дроби на \(\cos \alpha \). Тогда:

\(\frac{{3\cos \alpha  — 4\sin \alpha }}{{2\sin \alpha  — 5\cos \alpha }} = \frac{{\frac{{3\cos \alpha }}{{\cos \alpha }} — \frac{{4\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{\frac{{2\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} — \frac{{5\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}} = \frac{{3 — 4\,\,tg\alpha }}{{2\,\,tg\alpha  — 5}} = \frac{{3 — 4 \cdot 3}}{{2 \cdot 3 — 5}} = \frac{{ — 9}}{1} =  — 9.\)

2 Вариант

Так как \(tg\alpha  = 3\), то \(\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = 3\) и \(\sin \alpha  = 3\cos \alpha \). Тогда:

\(\frac{{3\cos \alpha  — 4\sin \alpha }}{{2\sin \alpha  — 5\cos \alpha }} = \frac{{3\cos \alpha  — 4 \cdot 3\cos \alpha }}{{2 \cdot 3\cos \alpha  — 5\cos \alpha }} = \frac{{3\cos \alpha  — 12\cos \alpha }}{{6\cos \alpha  — 5\cos \alpha }} = \frac{{ — 9\cos \alpha }}{{\cos \alpha }} =  — 9.\)

Ответ: — 9.